怎么用计算机快速检验组合恒等式？

1、在《怎么计算二项式系数》里面，我介绍了二项式系数的函数表示——Binomial，也就是组合数，这是Mathematica的内置函数，可以直接使用：

Binomial[n, k] + Binomial[n, k + 1] // TraditionalForm

2、验证一下二项式展开定理：

Sum[Binomial[n, k], {k, 0, n}] // HoldForm // TraditionalForm

3、下面验证一个组合恒等式：

Sum[Binomial[n, k]^2, {k, 0, n}]

4、化简Sum[k^2 Binomial[n, k] a^k b^(n - k), {k, 0, n}]，其实直接运行就可以。

5、这个呢？

Sum[(-1)^k Binomial[n, k] Binomial[k, m], {k, m, n}]

6、其实，化简的结果还是挺简单的：

Sum[(-1)^k Binomial[n, k] Binomial[k, m], {k, m, n}] // 

  HoldForm // TraditionalForm

答案是：(-1)^n δ[m, n]，右边是KroneckerDelta函数。

7、这个比较复杂：

Sum[(-1)^(k - 1) Binomial[2 n, k]^(-1), {k, 1, 2 n - 1}]

化简结果是：

((-1)^(2 n)+1)/(2 (n+1))

因为n是正整数，所以，(-1)^(2 n)=1，((-1)^(2 n)+1)/(2 (n+1))=1/(n+1)。