解析函数y=2^(4x^2+2x+8)的性质

1、     本文主要介绍指数复合函数y=2^(4x^2+2x+8）的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

       函数基本类型为指数函数，由函数特征知函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2、       在复合函数当中，内层函数和外层函数在相同的定义域内有相同的增减性或不同的增减性。

3、对于u=4x^2+2x+8为二次函数，单调性与开口和对称轴有关，其中开口向上，对称轴为x=-1/4,则：

(1)当x∈(-∞，-1/4)时，函数为减函数；

(2)当x∈(-1/4,+∞)时，函数为增函数。

4、此处介绍用函数的导数知识求解，步骤为：

∵y=2^(4x^2+2x+8）,

∴dy/dx=2^(4x^2+2x+8)*ln2*(8x+2),

令dy/dx=0,则：8x+2=0,即x=-1/4.

(1)当x∈(-∞，1/4)时，dy/dx<0,函数为减函数；

(2)当x∈(-1/4,+∞)时，dy/dx>0,函数为增函数。

则当x=-1/4时，函数有最小值，即：

ymin=2^[4*(-1/4)^2-1/2+8]=2^(31/4).

可知函数的值域为：[2^(31/4),+∞)

5、dy/dx=2^(4x^2+2x+8)*ln2*(8x+2)

d^2y/dx^2

=ln2*[2^(4x^2+2x+8)(8x+2)^2*ln2+2^(4x^2+2x+8)*8]

=ln2*2^(4x^2+2x+8)[(8x+2)^2*ln2+8]

∵(8x+2)^2>0,∴(8x+2)^2*ln2+8>0,

即d^2y/dx^2>0，则函数的图像为凹函数。

6、举例求点A(0,2^8)处的切线和法线方程。

在点A(0,2^8)处，有:dy/dx=2*2^8*ln2,即为切线的斜率，

则切线方程为：y-2^8=2ln2*2^8*x,

法线的斜率与切线的斜率乘积为-1，即可求出法线方程为：

y-2^8=-x/(2ln2*2^8).

7、在点B(-1/4,2^(31/4))处，有:

dy/dx=ln2*0=0,即为切线的斜率，

则切线方程为：y=2^(31/4),

此时法线的斜率不存在，则法线方程为：

x=-1/4.