二次函数与分数函数复合y=4/(x^2+5)图像的步骤

1、函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。自变量在分母，根据函数特征，自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。

2、函数的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数的单调区间。

对x求导得：

y=4/(x^2+5)，

dy/dx=-4*2x/(x^2+5)^2=-8x/(x^2+5)^2,

令dy/dx=0,则x=0，则：

（1）当x≥0时，dy/dx≤0，则此时函数y为减函数，

（2）当x＜0时，dy/dx＞0，则此时函数y为增函数。

3、函数极值与极限，函数的最大值和无穷端点处的极限。

lim(x→-∞) 4/(x^2+5)=0;

lim(x→0) 4/(x^2+5)=4/5;

lim(x→-∞) 4/(x^2+5)=0。

4、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

dy/dx=-8x/(x^2+5)^2,

d^2y/dx^2=-8[(1x^2+5)^2-x*2(1x^2+5)*2ax]/(x^2+5)^4,

d^2y/dx^2=-8[(1x^2+5)-4x^2]/(x^2+5)^3,

d^2y/dx^2=8(3x^2-5)/(x^2+5)^3,

令d^2y/dx^2=0，则3x^2-5=0，即x^2=5/3,

5、求出x1=-(1/3)√15，x2=(1/3)√15。

（1）当x∈(-∞，-(1/3)√15),( (1/3)√15，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，则此时函数y为凹函数，

（2）当∈[-(1/3)√15,(1/3)√15]时，

dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。

6、根据奇偶性判断原则，判断二次函数与分数函数复合y=4/(x^2+5)为偶函数。

7、一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能成为偶函数。

8、该偶数分式函数部分点解析表如下：

因为f(x)=4/(x^2+5),

所以f(-x)=4/[1(-x)^2+5]=4/(x^2+5)=f(x),

即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。

9、函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，二次函数与分数函数复合y=4/(x^2+5)的示意图如下：