用Mathematica演示级数逼近问题——傅里叶级数

1、先来作一个函数——x/2 的3阶傅里叶级数：

FourierSeries[x/2, x, 3】

并画出对比图：

Plot[{%, x/2}, {x, -3 Pi, 3 Pi}]

可以发现，只在区间｛-Pi，Pi｝上有可比性！

2、把级数的表达式处理一番：

FourierSeries[x/2, x, 3] // Simplify

FourierSeries[x/2, x, 3] // Simplify // TraditionalForm

FourierSeries[x/2, x, 3] // FullSimplify

FourierSeries[x/2, x, 3] // FullSimplify // TraditionalForm

3、用列表的形式，给出t/2的前10阶Fourier级数式：

Table[FourierSeries[t/2, t, n], {n, 1, 10}] // 

  FullSimplify // TraditionalForm

4、把列表里的所有表达式画到一起：

Plot[%, {t, -3 Pi, 3 Pi}]

5、函数t/2前10阶的Fourier级数式，对应的逼近程度（互动模拟）：

Manipulate[

 Plot[{t/2, Evaluate[FourierSeries[t/2, t, n]]}, {t, -Pi, Pi}, 

  PlotRange -> 2], {n, 1, 10, 1}]

6、Manipulate[

 Plot[{t/2, Evaluate[FourierSeries[t/2, t, n]]}, {t, -3 Pi, 3 Pi}, 

  PlotRange -> 5], {n, 1, 10, 1}]

7、再尝试一些其它函数，如t^2：

Manipulate[

 Plot[{t^2, Evaluate[FourierSeries[t^2, t, n]]}, {t, -3 Pi, 3 Pi}], {n, 1, 10, 1}]

8、一个分段函数：

f[x_] = Piecewise[{{1, 0 <= x < Pi}, {-1, -Pi <= x < 0}}];

运行互动代码：

Manipulate[

 Show[Plot[f[x], {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {Thickness[0.01], Red}, 

   PlotRange -> {-1.5, 1.5}], 

  Plot[Evaluate[FourierSeries[f[x], x, n]], {x, -Pi, Pi}, 

   PlotStyle -> {Thickness[0.01], Blue}]], {n, 1, 36, 1}]

9、再来一个分段函数：

f[x_] = Piecewise[{{0, 0 <= x < Pi}, {x, -Pi <= x < 0}}]

仍旧用上一步的互动代码，逼近情况的互动模拟效果如下！