二次三项式，分解因式的技巧、窍门
1、正如 x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式 mx = (a+b)x 一分为二，变成 ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。
关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：
【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；
【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。
2、一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？
我们看看 x" ± 10x ± 24 这个二次三项式。它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。
只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：
【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；
【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。
这样，就当然要根据常数项，决定一次项怎样一分为二了。
3、下面我们不妨按照四个象限的坐标那样，先把四个具体式子全部列举出来。
第一象限（正，正），x" + 10x + 24 ，
第二象限（负，正），x" - 10x + 24 ，
第三象限（负，负），x" - 10x - 24 ，
第四象限（正，负），x" + 10x - 24 ；
接下来我们就通过这几个例子，一个一个探索奥秘，学习技巧、窍门。
4、x" + 10x + 24
常数项是正数，一次项一分为二就要变成两个小的，
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
或者
= x" + 6x + 4x + 24
= x( x + 6 ) + 4( x + 6 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
5、x" - 10x + 24
常数项 +24 不变，一次项 10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 4x 与 6x，
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
或者
= x" - 6x - 4x + 24
= x( x - 6 ) - 4( x - 6 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
6、x" - 10x - 24
常数项是负数，一次项就要变成两个项的相差数，
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )
或者
= x" + 2x - 12x - 24
= x( x + 2 ) - 12( x + 2 )
= ( x + 2 )( x - 12 )
7、x" + 10x - 24
常数项 -24 不变，一次项 -10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 12x 与 2x，
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
或者
= x" - 2x + 12x - 24
= x( x - 2 ) + 12( x - 2 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
8、其实，这个 x" ± 10x ± 24 也正好是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y = 2 的一个情况，这个式子千变万化，还有更多情况。
如果说，x" ± 5xy ± 6y" 的二次项系数是 1，我们不需要这样拆项分组分解；真正困难的式子，二次项系数不是 1。别着急，首先找到规律，打好基础，才能更上一层楼。
1、拆项分组分解因式，一次项怎样一分为二，学到了吗？
【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；
【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是正负两个项的相差数。
下面我们就增加难度，看看二次项系数不是 1 的式子 8x" ± 52x ± 60，这个式子也是四种情况都能够分解因式。
2、8x" + 52x + 60
既然常数项是正数，一次项就要拆开两个小的，
= 8x" + 40x + 12x + 60
= 8x( x + 5 ) + 12( x + 5 )
= ( x + 5 )( 8x + 12 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
或者
= 8x" + 12x + 40x + 60
= 4x( 2x + 3 ) + 20( 2x + 3 )
= ( 4x + 20 )( 2x + 3 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
3、8x" - 52x + 60
常数项还是 +60，一次项就还是拆开 12x 和 40x，
= 8x" - 40x - 12x + 60
= 8x( x - 5 ) - 12( x - 5 )
= ( x - 5 )( 8x - 12 )
= 4( x - 5 )( 2x - 3 )
或者
= 8x" - 12x - 40x + 60
= 4x( 2x - 3 ) - 20( 2x - 3 )
= ( 4x - 20 )( 2x - 3 )
= 4( x - 5 )( 2x - 3 )
4、8x" - 52x - 60
既然常数项是负数，一次项就要变成相差数，
= 8x" + 8x - 60x - 60
= 8x( x + 1 ) - 60( x + 1 )
= ( x + 1 )( 8x - 60 )
= 4( x + 1 )( 2x - 15 )
或者
= 8x" - 60x + 8x - 60
= 4x( 2x - 15 ) + 4( 2x - 15 )
= ( 4x + 4 )( 2x - 15 )
= 4( x + 1 )( 2x - 15 )
5、8x" + 52x - 60
常数项还是 -60，一次项就还是拆开 8x 和 60x，
= 8x" - 8x + 60x - 60
= 8x( x - 1 ) + 60( x - 1 )
= ( x - 1 )( 8x + 60 )
= 4( x - 1 )( 2x + 15 )
或者
= 8x" + 60x - 8x - 60
= 4x( 2x + 15 ) - 4( 2x + 15 )
= ( 4x - 4 )( 2x + 15 )
= 4( x - 1 )( 2x + 15 )
6、同样，这个 8x" ± 52x ± 60 也正好是式子 8x" ± 26xy ± 15y" 当中 y = 2 的情况，这个千变万化的式子，也同样有更多情况。
像这样，二次项系数不是 1 的式子，也更能够说明问题，更能够反映规律，新方法用起来也更能够感受到好处。
道理很简单，因为二次项系数不是 1，就不仅常数项是乘积，还有二次项系数也是乘积，十字相乘很可能看得不知从何下手。相比之下，拆项分组分解因式，还是有根有据，一步一步地操作。这样比起不知所措，感觉当然就方便轻松多了。
1、看看刚才做的，
x" + 10x + 24 = ( x + 4 )( x + 6 ) ，
x" - 10x + 24 = ( x - 4 )( x - 6 ) ，
跟完全平方比一比，
x" + 10x + 25 - 1 = ( x + 5 )" - 1" = ( x + 5 - 1 )( x + 5 + 1 ) ，
x" - 10x + 25 - 1 = ( x - 5 )" - 1" = ( x - 5 + 1 )( x - 5 - 1 ) ，
显然，配方法就是先把二次项、一次项变成完全平方式，常数项就也会变成平方数，这样就又可以根据平方差，进行因式分解了。
2、还是看看 x" - 10x - 24
首先配方，把二次项和一次项，变成完全平方，
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式，用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )
这样的配方法，变成完全平方，得到平方差，分解因式，
相信用来解方程，也会比一元二次方程公式法更加方便。
3、再看看 8x" + 52x + 60
配方之前，还要先把二次项系数变成平方数，
= 4( 2x" + 13x + 15 )
= 8[ x" + (13/2)x + (13/4)" - 169/16 + 15/2 ]
= 8[ ( x + 13/4 )" - 169/16 + 120/16 ]
= 8[ ( x + 13/4 )" - 49/16 ]
= 8( x + 13/4 + 7/4 )( x + 13/4 - 7/4 )
= 8( x + 20/4 )( x + 6/4 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
这样也看到，配方法并非要一次项系数是偶数，才符合完全平方的 2ab，就连是奇数也同样适用。
4、解一元二次方程的配方法，是因为式子值为 0，二次项系数就干脆变成最简的 1 。如果不是方程，只是二次三项式，把二次项系数提取出来，也可以保留平方数，或许更方便。
8x" + 52x + 60
= (1/2)( 16x" + 104x + 120 )
= (1/2)[ (4x)" + 26(4x) + (13)" - 169 + 120 ]
= (1/2)[ ( 4x + 13 )" - 49 ]
= (1/2)( 4x + 13 + 7 )( 4x + 13 - 7 )
= (1/2)( 4x + 20 )( 4x + 6 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
5、如果扩大数值范围，配方没有得到平方差，只是得到负数，就可以加上根号，又得到平方差，在实数范围也同样能够分解因式。
x" - 6x + 7
= x" - 6x + 3" - 9 + 7
= ( x - 3 )" - 2
= ( x - 3 )" - (√2)"
= ( x - 3 - √2 )( x - 3 + √2 )
6、如果在复数范围，就连常数项变成正数，配方得到的是平方和，也还是可以分解因式。
x" + 6x + 10
= x" + 6x + 3" - 9 + 10
= ( x + 3 )" + 1
= ( x + 3 )" - (-1)
= ( x + 3 - i )( x + 3 + i )
7、其实，看到扩大数字范围，用配方法都能分解因式，我们就知道，或许每个二次三项式都能够分解因式，每个二次三项式都像 x" ± 10x ± 24 这样，绝对值不变，正负都能够分解因式，只是变成相反数之后，更多的式子都要改变数字范围才能分解，不像这几个都能够在整数范围分解因式。
看吧
x^4 - 4
有理数范围
= (x")" - 2"
= ( x" + 2 )( x" - 2 )
实数范围
= ( x" + 2 )[ x" - (√2)" ]
= ( x" + 2 )( x + √2 )( x - √2 )
复数范围
= [ x" - (-2) ]( x + √2 )( x - √2 )
= [ x + (√2)i ][ x - (√2)i ]( x + √2 )( x - √2 )
这样的平方差分解因式，也是典型的例子了。
1、分解因式的好方法、技巧、窍门，我们得到了吗？自己也赶快试试看吧！
这两个核心的二次三项式，就是 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y"，
我们只要根据这两个核心的式子，就能够把其他绝对值都记住，多取几个具体式子都分解因式练一练，这个技巧、窍门就掌握熟悉了。
2、这两个 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 千变万化，如果 x 和 y 分别取整数值 1 到 6，就会得到 24 种绝对值的式子，每一种绝对值正负又都有四个具体式子，这样就得到 96 个式子，也正好适合那些需要几十道、上百道练习题的朋友们。
下面为了方便大家核对，我就把 24 种绝对值都全部列举出来。
3、x" ± 5x ± 6 ，
x" ± 10x ± 24 ，
x" ± 15x ± 54 ，
x" ± 20x ± 96 ，
x" ± 25x ± 150 ，
x" ± 30x ± 216 ，
……
其实，它们都是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y 取具体数值得到的；
这个式子千变万化，如果 x 取具体数值，还有
6x" ± 5x ± 1 ，
6x" ± 10x ± 4 ，
6x" ± 15x ± 9 ，
6x" ± 20x ± 16 ，
6x" ± 25x ± 25 ，
6x" ± 30x ± 36 ，
……
4、8x" ± 26x ± 15 ，
8x" ± 52x ± 60 ，
8x" ± 78x ± 135 ，
8x" ± 104x ± 240 ，
8x" ± 130x ± 375 ，
8x" ± 156x ± 540 ，
……
其实，它们也都是 8x" ± 26xy ± 15y" 当中，y 取具体数值得到的；
这个千变万化的式子，如果 x 取具体数值，还有
15x" ± 26x ± 8 ，
15x" ± 52x ± 32 ，
15x" ± 78x ± 72 ，
15x" ± 104x ± 128 ，
15x" ± 130x ± 200 ，
15x" ± 156x ± 288 ，
……
5、这么多的二次三项式，分解因式的结果其实都有关系。
这两个核心的 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y"，我们都已经各做了其中一个绝对值的四个式子，其余式子的答案又是什么样，我们就不用列举了吧。
相信大家自己开动脑筋，分解因式的结果，自己做出来也更有收获，胜利感也更强。