怎么用Mathematica解决简单的数论问题？

1、先假设m=100，看看对应的解是什么。

FindInstance[

 7 x + 11 y == 100 && x > 0 && y > 0, {x, y}, Integers, 1000]

答案是：x -> 8, y -> 4

所以， 7 x + 11 y == 100只有一组正整数解。

2、考察别的数字m——用列表的方式，枚举出m取值在190到200之间，对应的正整数解：

Table[FindInstance[7 x + 11 y == m && x > 0 && y > 0, {x, y}, 

   Integers, 1000] , {m, 190, 200}]

3、然而，这里，我们只需要关心m对应了多少组正整数解，而无须考虑解的具体形式。

所以：

FindInstance[7 x + 11 y == 190 && x > 0 && y > 0, {x, y}, Integers, 1000] // Length

4、于是可以自定义一个函数，来找出满足要求的m：

f[m_] := If[

(FindInstance[7 x + 11 y == m && x > 0 && y > 0,

 {x, y}, Integers, 1000] // Length) == 1, 

m, 0]

意思就是，如果7 x + 11 y == m恰好有一组正整数解的话，函数f[m]的值就等于m；

如果7 x + 11 y == m没有正整数解，或者，正整数解的数目多于一组，f[m]就等于0。

5、那么，我们可以枚举出1000以内所有满足条件的m：

6、我们可以发现，当m大于154以后，是一片0的天下。

于是，我们可以猜测：

当m>154时，7x+11y=m至少有两个正整数解。

这个猜测暂时不在本文讨论。

看下图，大于154的数字，一个也不缺席。

7、第五步里面的结果。那一大堆0不是我们所关心的东西，可以合并起来：

(f /@ Range[1000]) // Union

这样，可以发现，m最小值是18，最大值是154。

枚举法并不能代替理论证明，但是这里不予证明。