【抽象代数】商环的结构

1、给定环R的一个元素a，那么a与理想I的元素相加，得到一个陪集，记为a'=a+I。

这个集合里面的元素b的特点是，存在I的某个元素i，使得a=b+i。

2、两个不同的陪集是互不相交的。

假设a'和b'是两个不同的陪集，表示对a'的元素a和b'的元素b，a-b不属于I。

3、这样，环R被划分为互不相交的一些陪集，把这些陪集的集合记为R/I。

这个集合关于加法封闭。

这是因为如果a和b属于R，那么a+b也属于R。

4、进一步指出，R/I是一个加法群，也就是说对于任意元素a'，存在另一个元素b'，使得a'+b'=0+I。

这是显然的，因为元素a存在加法逆-a，所以，b'=-a+I就是a'的加法逆元。

5、R/I的乘法定义为：

a'*b'=ab+I

注意，a是a'的代表元，b是b'的代表元，那么ab就是a'*b'的代表元。

6、可以证明，R/I的上述乘法满足结合律。