导数知识画函数y=log3(x^2+2)的图像

1、函数的定义域，结合对数函数的性质，求解函数的定义域。

2、知识点：

     一般地，对数函数是以真数为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

        如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

3、计算出函数的一阶导数，通过函数的一阶导数，求出函数的单调区间。

4、函数单调性：

y=log3(x^2+2),

dy/dx=d(x^2+2)/[ln3(x^2+2)],

dy/dx =2x/[ln3(x^2+2)],令dy/dx=0,则：x=0,即有：

(1)当x∈[0,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数单调递增，区间为增区间；

(2)当x∈(-∞,0)时，dy/dx＜0，此时函数单调递减，区间为减区间。

5、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

dy/dx =2x/[ln3 (x^2+2)],

d^2y/dx^2=(2/ln3)*[(x^2+2)-x*2x]/(x^2+2)^2,

d^2y/dx^2=(2/ln3)*(2-x^2)/( x^2+2)^2,

令d^2y/dx^2=0，则x^2=2，即：

x1=-√2，x2=√2。

(1). 当x∈(-∞, -√2) ,(√2,+∞)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数；

(2). 当x∈[-√2, √2]时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数。

6、函数的极限：

Lim（x→-∞）log3(x^2+2)=+∞，

Lim（x→0）log3(x^2+2)=log3 2，

Lim（x→+∞）log3(x^2+2)=+∞。

7、函数的奇偶性，判断函数的奇偶性，由于函数f(-x)=f(x),即函数为偶函数，确定其对称性为关于y轴对称。

设f(x)=log3(x^2+2)，则有：

f(-x)=log3 [(-x)^2+2]=log3(x^2+2)=f(x),

即函数偶函数，图像关于y轴对称。

8、函数图上，部分点以图表解析表列举如下：

9、函数的示意图，综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性性、奇偶性和极限等性质，并结合函数的单调区间、凸凹区间，可画出函数的示意图如下：

10、更多函数性质和画图方法，欢迎大家学习讨论。