如何理解和运用泰勒公式——波波教你学高数

泰勒公式的应用

方法/步骤

1、泰勒公式其实就是拉格朗日中值定理的推广，当取n=0时f(x)=f(x0)+f'(ξ)*(x-x0)，即为朗格朗日中值定理。

2、泰勒公式可以使函数的近似值更精确，如果|f(x)的(n+1)阶导|≤M，则：

f(x)≈f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+...+(1/n!)*（f(x0)的n阶导）*(x-x0)^n

3、泰勒公式的余项有两大类：一类是定性的佩亚诺型余项Rn(x)=o[(x-a)^n]。另一类是定量的，如朗格朗日型余项Rn(x)=（f(ξ)的(n+1)阶导）/(n+1)!

 *(x-a)^(n+1)(ξ在x与a之间)。

4、将函数在某点处展成泰勒公式的方法：

（1）直接按公式展开，有时需将函数作简单变形，转化为可展开的形式。

（2）利用麦克劳林公式展开。

5、泰勒公式的主要应用——求高阶导数

泰勒公式其通项中的项(x-x0)^n的系数是(1/n!)*f(x0)的n阶导，从而求得f(x0)的n阶导数。