画函数y=4/(x^2+3)图像示意图的主要步骤

1、函数段改绵的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。自变量在分母，根据函数特征，自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。

2、函数的单调性，通过彩施函数的一阶导数，求出函数y=4/(x^2+3)的单调区间。

3、 y=4/(x^2+3)，分母y1=x^2+3，为二次函数，图像关于y轴对称，开口向上，

当x≥0时，y1函数为增函数，当x＜0时，y1函数为减函数，

再取倒数时，则函数单调性相反，即：

当x≥0时，y函数为减函数，当x＜0时，y函数为增函数。

对x求导得：

y=4/(x^2+3)，

dy/dx=-4*2x/(x^2+3)^2=-8x/(x^2+3)^2,

令dy/dx=0,则x=0，则：

（1）当x≥0时，dy/dx≤0，则此时函数y为减函数，

（2）当x＜0时，dy/dx＞0，则此时函数y为增函数。

4、函数极值与极限，函数的最大值和无穷端点处的极限。

5、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

dy/dx=-8x/(x^2+3)^2,

d^2y/dx^2=-8[(1x^2+3)^2-x*2(1x^2+3)*2ax]/(x^2+3)^4,

d^2y/dx^2=-8[(1x^2+3)-4x^2]/(x^2+3)^3,

d^2y/dx^2=8(3x^2-3)/(x^2+3)^3,

6、根据奇偶性判断原则，判断函数为偶函数。

因为f(x)=4/(x^2+3),

所以f(-x)=4/[1(-x)^2+3]=4/(x^2+3)=f(x),

即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。

7、该偶数分式函数y=4/(x^3+3)部分点解析表如下：

8、函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，函数y=4/(x^3+3)的示意图如下：

9、求点A(0, 4/3)处的切线。

根据导数的几何定义，此时切线的斜率kA=0，即此时切线方蚂付程为y=4/3.