复数|z|怎么算

复数是高中学习的知识,下面让我带领大家一起复习一下它的概念及计算方法吧.

工具/原料

高中数学, 复数

方法/步骤

复数概念:

形如 a+bi (a ,b∈R)的数叫做复数,常用字母z表示,即z=a+bi (a ,b∈R),为复数的代数形式;

其中,i为虚数单位,其系数b叫做复数的虚部,a叫做复数的实部;

复数计算:

这里的计算一般指复数模的计算,如复数z=a+bi (a ,b∈R),其模记为|Z|,

                |Z|=√(a^2+b^2)

读作,复数z的模为根号下a的平方加上b的平方.

为什么会是这样计算?模的值又为什么是一个实数而不是复数?

下面让我带大家从复数的几何意义上来解读一下吧.

复数的几何意义:

在几何上,对于一个复数,我们可以建立一个平面坐标系来表示,

这个表示复数的平面,我们称之为复平面;

坐标系的的x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴;

显然,x轴的数都为实数,y轴上的数除了原点皆为纯虚数;

例:

       z=a+bi (a ,b∈R)

在复平面上对应为实轴数为a,虚轴数为b的点;

每个复数在复平面上都有唯一的一个点与之对应,反之亦然;

那么,对于每一个复数,可以看作是一个从原点指向该点的向量,其模的计算可以等效为计算向量的模,即复数的计算可以等效为计算复平面上的点到原点的距离;

z=a+bi (a ,b∈R)在复平面上对应的点坐标为(a,b),则其模|Z|为:

                                                                                           |Z|=√(a^2+b^2)

延伸概念:

1)对虚数单位i:

         (1)i的平方等于-1,即i^2=-1;

         (2)实数可以与其进行加减乘除四则运算,加和乘法运算定律仍满足;

         (3)周期性,即

              i^(4n)=1,

              i^(4n+1)=i,

              i^(4n+2)=-1,

              i^(4n+3)=-i,

              i^(4n+4)=1

            如上所示,i具有周期性,且每4次方一个循环.

2)复数与实数,虚数,纯虚数以及0的关系

例:

    z=a+bi (a ,b∈R)

    当a,b都不等于零时,z为虚数;

    当a=0,b不等于0时,z为纯虚数;

    当a不等于0,b=0时,z为实数;

    当a=0且b=0时,z为实数0.

3)对于两个复数z1=a+bi (a ,b∈R)和z2=c+di (c ,d∈R),有以下性质:

(1)当且仅当a=c且b=d时,复数z1等于复数z2;

(2)z1=z2=0时,有a=b=c=d=0;

(3)复数只能论相等不相等,一般不能比较大小,只有两个复数都为实数时,才能比较大小.