Mathematica 学生分布(t分布)

1、学生分布符号为StudentTDistribution。参数可以是一个n（常用），也可以是三个，μ，σ，n。

2、学生t分布的累积分布：

我们对刚才定义的四个分布，使用CDF计算累计分布，并分别按照黑色，白色，蓝色，橘黄色绘制，如图。

一个参数[5]和三个参数[0,1,5]等价。即一个参数时，默认μ=0，σ=1.

3、学生t分布的概率密度：

我们使用PDF函数计算概率密度，绘制如图。

4、学生t分布的概率密度解析式：

如图，上面一种是Mathematica使用Beta函数的表示。

下面一种是某教科书中的形式。

当n>0，x为实数时，可以看到它们是完全相等的。

5、学生t分布的渐近性质：

t分布随着n的增大逼近到标准正态分布N(0,1)。

和N(0,1)相比，t分布波峰较低，两侧较高。

6、学生t分布的均值和方差：

平均值为0，方差为n/(n-2)。

7、学生t分布的合成来由：

假设一个随机变量X~标准正态分布N(0,1)，

另一个独立随机变量Y~卡方分布χ^2(n)，

则X/Sqrt(Y/n)的分布为t分布，参数为n.

如图，按照上述公式，产生10^6个随机数并绘制直方图，与t分布拟合良好。