怎么认识置换与置换矩阵之间的关系？

1、本文，我们要介绍的是4阶置换，一共有24种不同的情形。

以a,b,c,d为例，全排列有24种情形，每一种情形对应一种置换。

下图是给出的24种排列：

A={a,b,c,d};Partition[Permutations[A],3]//Grid

注意，{a,b,c,d}也是一种置换，表示不变。

2、上面的不变，对应的置换矩阵是4阶单位矩阵。

因为把{a,b,c,d}视为列向量，而4阶单位矩阵与它的矩阵积，得到的还是它本身。

如果：

Z1={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}};

那么：

Z1.A=A。

3、看一下上图，里面有一种置换是{b,a,c,d}，其实就是把第一个元素和第二个元素对换一下位置。

而它对应的置换矩阵Z2，就是把4阶单位矩阵的第一行和第二行对换位置。

4、验证的方法是：

Z2.A，结果就是{b,a,c,d}。

5、这样，每一个置换u，都对应着一个置换矩阵U；

这个置换矩阵U，是通过对单位矩阵，行变换得到的；

Zu.A与置换u是一样的。

6、这样，4阶置换矩阵一共有24个，它们的集合在矩阵乘法下，构成一个群——：

4阶对称群S4。

Mathematica可以画出这个群的凯莱图：

CayleyGraph[SymmetricGroup[4],ImageSize->500]