数学题的演示与解答（网络画板、Mathematica）
1、画出基本图形。
由于抛物线方程是已知的，那么，A、B、C、D的位置也就确定了。
由于第一个小问题比较简单，这里不做讨论。
本段落专门考虑第二个小问题，我把第二个小问题分拆开来介绍。
2、先求出2PF+EQ最大的时候，P的位置。
设E的坐标是{u,0}，那么F的坐标就是{u+1,0}，
那么，P和Q的坐标也可以用u来表示：
Y=Sqrt[3]*x^2/6-2*Sqrt[3]*x/3-2*Sqrt[3] ;
e={u,0};
f={u+1,0};
Q={u,(-6 + u)/Sqrt[3]};
P={u+1,((-5 + u) (3 + u))/(2 Sqrt[3])};
那么，2PF+EQ=(6 - u + (3 + u) Abs[-5 + u])/Sqrt[3]
当u=1/2的时候，有最大值。
3、P的位置确定了之后，再来考虑PH+HM-MB/sqrt(2)的最小值。
先假设H的位置是固定的，那么，PH就是定值；
思考HM-MB/sqrt(2)取最小值的时候，H和M的关系：
作两条直线y=±(x+2)，那么，M到这两条直线的距离MN，就是MB/sqrt(2)；
当M位于B右侧的时候，H和M位于y=-x-2两侧，设M、H到直线y=-x-2的垂足为N、G；
作圆M(N)；
观察发现，当HM-MN最小的时候，N和G重合；
也就是说，当MH垂直于直线y=-x-2的时候，HM-MB/sqrt(2)最小，等于HG。
4、当M位于B右侧的时候，H和M位于y=-x-2同侧，设M、H到直线y=-x-2的垂足为N、G；
作圆M(N)，HM>MN的情况就不需要考虑了，因为我们要求的是最小值；
观察发现，当HM-MN最小的时候，N和G重合；
亦即，当MH垂直于直线y=-x-2的时候，HM-MB/sqrt(2)最小，等于-HG；
这个时候，PH-HG的最小值是PK，其中K是直线y=-x-2与y轴的交点。
这只是一个局部最小值。
5、当M位于B左侧的时候，设M、H到直线y=x+2的垂足为N'、G'；
作圆M(N')；
观察发现，当HM-MN'最小的时候，N'和G'重合；
也就是说，当MH垂直于直线y=x+2的时候，HM-MB/sqrt(2)最小。
6、然后让H动起来：
设H到直线y=±(x+2)的距离是HG，下面只需要考虑PH+HG取最小值时H的位置。
观察动画，可以发现，当PH//直线y=-x-2的时候，PH+HG取得局部最小值。
7、取得局部最小值的时候：
当M位于B左侧的时候，G在直线y=x+2上面；
当M位于B右侧的时候，G在直线y=-x-2上面；
对比一下三个个局部最小值，可以发现，当M位于B右侧的时候，是全局最小值。
这样，H的位置就确定了，HG垂直于直线y=-x-2，PH+HG就是PH+HM-MB/sqrt(2)的最小值。
1、B和C按照向量n*BA平移，得到B'、C'，而B'C'的中点位于x轴上，解方程：
Solve[(b + (a - c)*n)[[2]] + (c + (a - c)*n)[[2]] == 0, n]
答案是n=1/2，说明C'位于线段AC的中点。
注意，代码里面的a、b、c指的是A、B、C的坐标。
2、这样，就可以求出B'O'C'的顶点坐标：
b0 = b + (a - c)*1/2
c0 = c + (a - c)*1/2
o0 = o + (a - c)*1/2
其中，o是坐标原点。
3、假设旋转中心是T{u,v}，
那么B'O'C'绕T逆时针旋转90°，得到的三个顶点的坐标是：
zheng = RotationTransform[90 \[Degree], {u, v}][#] & /@ {b0, c0, o0}
B'O'C'绕T顺时针旋转90°，得到的三个顶点的坐标是：
fan = RotationTransform[-90 \[Degree], {u, v}][#] & /@ {b0, c0, o0}
4、设抛物线的隐函数方程是：
k[{x_, y_}] := Sqrt[3]*x^2/6 - 2*Sqrt[3]*x/3 - 2*Sqrt[3] - y
三角形某两个顶点位于抛物线上：
bb = Subsets[(RotationTransform[90 \[Degree], {u, v}][#]) & /@ {c0,
b0, o0}, {2}];
Table[Solve[k[bb[[n, 1]]] == 0 && k[bb[[n, 2]]] == 0,
{u, v}] // Values // Flatten, {n, 1, 3, 1}] // Column
cc = Subsets[(RotationTransform[-90 \[Degree], {u, v}][#]) & /@ {c0,
b0, o0}, {2}];
Table[Solve[k[cc[[n, 1]]] == 0 && k[cc[[n, 2]]] == 0,
{u, v}] // Values // Flatten, {n, 1, 3, 1}] // Column
经过计算，满足要求的旋转中心一共有四个，它们的坐标如下。
5、在网络画板里面实现这个旋转的动画，每一种情形，恰好有两个点位于抛物线上。
