根式函数10x+1+4y+20=2的性质图像

1、函数的定义域

对隐函数√(10x+1)+√(4y+20)=2有：

√(10x+1)=2-√(4y+20)≤2，

不等式两边同时平方为：

10x+1≤4，即：

10x≤3，则x≤3/10,

同时有10x+1≥0，即x≥-1/10,

即可得到该函数的定义域为：

[-1/10，3/10]。

2、    定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

3、通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

对函数√(10x+1)+√(4y+20)=2两边同时求导有：

10/2√(10x+1)+4y'/2√(4y+20)=0,

4y'/√(4y+20)=-10/√(10x+1),

y'=-5/2*√(4y+20)/√(10x+1)≤0,

即函数在定义域上为减函数。

故函数的单调减区间为[-1/10，3/10]。

4、函数导数的应用，求曲线上点的切线方程，举例介绍如下。

例如求点A(-1/10,4)处的切线。

解：由导数y'=-5/2*4y+20/10x+1 可知，

当x=-1/10时，导数不存在。

所以此时函数的切线方程为：x=-1/10。

5、例如求点B(3/10,-5)处的切线和法线方程。

解：此时导数y'=-5/2*4y+20/10x+1 =-4*5+20/10*310+1 =0，

则此时函数y的切线为y=-5，

法线方程为：x=3/10。

6、根据根式函数性质，求出函数的值域。函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。

7、变形根式表达式，由根式为非负数，解出值域也为一闭区间。

根据函数单调性，则当x0=3/10时，

该函数有最小值，将x0代入隐函数有：

√(10*3/10+1)+√(4y+20)=2，

2+√(4y+20)=2，即4y+20=0,

则y=-5为所求隐函数的最小值。

同时:

对函数√(10x+1)+√(4y+20)=2有：

√(4y+20)=2-√(10x+1)≤2，

不等式两边同时平方为：

4y+20≤4，即：

4y≤-16，则y≤-4,

综合求出该隐函数的值域为：

[-5, -4]。

8、求二阶导数过程：

y'=-5/2*√(4y+20)/√(10x+1)，

对函数再次求导，有：

y''=-5/2*[4y'√(10x+1)/2√(4y+20)-10√(4y+20)/2√(10x+1)]/(10x+1),

y''=-5/2*[4y'(10x+1)-10 (4y+20)]/[2√(10x+1)^3*√(4y+20)],

y''=-5/4*[-10√(4y+20) (10x+1) -10 (4y+20)]/[√(10x+1)^3*√(4y+20)],

对二次导数进行等式变形化简得：

y''=25/2*[√(10x+1) +√(4y+20)]/√(10x+1)^3

=25/[1√(10x+1)^3]>0,

即函数在[-1/10，3/10]为凹函数。

9、通过求解函数的二次导数，判定函数图像的凸凹性。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

10、函数图像五点示意图，列图表解析函数上的五点图如下表所示。

11、综合以上函数的相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。