用Mathematica解决不等式问题举例

1、        用Reduce可以解决一些简单的不等式问题。

        分别求解下列关于x的不等式：

x^3 > 5 x + 2，

x^3 > x^2 + 3 x + 1，

x^4 > x^3 + x^2 + x + 2。

        注意，结果里面的“||”是“或”的意思。

2、        但大多数不等式是无法给出精确的根式解的。

        分别求解下列关于x的不等式：

x^3 > 5 x + 3，

x^3 > x^2 + 3 x + 2，

x^4 > x^3 + x^2 + x + 6。

        这些不等式全是用Root函数表示出来的。但是，这些不等式转化为方程，却都是可以求出根式解的，以x^3 = 5 x + 3为例，它有三个解。

3、        给出这些不等式的近似的数值解，还可以规定结果的精确度：

4、        用Reduce解不等式组，各个不等式要用“&&”连结。同时，有的不等式组可能无解。

5、        可以解多元不等式（组），要把变量用花括号包起来。

        运行结果，用了两层逻辑符号，看看你能搞懂吗？转换成数值解呢？

1、        已知 3 ≤ x·y^2 ≤ 8, 4 ≤ （x^2）/y ≤ 9，求（x^3)/(y^4)的最大值。

        由运行结果可知，当x=3，y=1时，(x^3)/(y^4)有最大值27.

2、        已知 3 ≤ x·y^2 ≤ 8, 4 ≤ （x^2）/y ≤ 9，求（x^3)/(y^4)的最小值。

        发现，当取得最小值的时候，无法给出x和y的精确值，只能给出近似值。同时，也能发现（x^3)/(y^4)的取值范围是[2，27]。

3、        已知 - 5 < x < y < 1, -2 < z < 1， 求 (x + y) z^2 的取值范围。

        这里分别要用到Maximize和Minimize。注意看，最大值和最小值能否取到？

1、        用Mathematica虽然难以给出不等式证明的具体步骤，但是她可以检验一些复杂的不等式的正确性。如下面图片里面这个问题。我曾经把这个问题在百度知道上面提出来过，得到网友xzcyr的解答。

2、        xzcyr给出的的代码是：

Clear[a, b, c, x];

expr = #^x/(#2^x + #3^x) & @@ RotateLeft[{a, b, c}, #] & /@ Range@3 // Total;

Resolve[ForAll[{x, a, b, c}, x > 0 && a > 0 && b > 0 && c > 0, D[expr, x] >= 0]]

        用导数恒≥0来判断函数处处不减。代码运行结果：True。真心感觉不可思议，这段代码的运行时间不到一秒，而运算次数大概是无限次。Mathematica是怎么做到的呢？