已知2a+23b=9,求ab的最大值方法

1、介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

2、思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/23-2/23*a)

=-2/23*a^2+9/23*a

=-2/23(a-9/4)^2+81/184，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/184。

3、思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+23b=9,

2a+23p/a=9,

2a^2-9a+23p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-184p≥0,即：

p≤81/184,

此时得ab=p的最大值=81/184。

4、思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+23b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，23b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/23(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/23(sint)^2,

=81/184*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/184。

5、思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,23b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/23)(9/2-t)

此时有：

ab=1/46*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/46*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/184,

则ab的最大值为81/184。

6、思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+23b≥2√46*ab,

∴(2a+23b)^2≥184*ab,

81≥184*ab,

即：ab≤81/184,

则ab的最大值为81/184。

7、思路六：数形几何法

如图，设直线2a+23b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：              

2a0+23b0=9,b0=a0tanθ,                       

2a0+23a0tanθ=9，得

a0=9/(2+23tanθ),                    

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+23tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+92+529|tanθ|]

≤81/(92+92)=81/184。

则ab的最大值=81/184.

8、思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+23b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-23λ,

f'λ=2a+23b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=2λ,a=23λ。进一步代入得：

46λ+46λ=9,即λ=9/92.

则有a=9/4,b=9/46.

ab的最大值=9/4*9/46=81/184。