三维不等式柯西定理应用举例详解A19

1、三维不等式柯西定理：

(p₁²+p₂²+p₃²)(q₁²+q₂²+q₃²)≥(p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃)²。

1、证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(p₁+q₁x)²+(p₂+q₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(q₁²+q₂²)x²+2(p₁q₁+p₂q₂)x+(p₁²+p₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(p₁q₁+p₂q₂)²−4(q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≤0

所以: (q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≥(p₁q₁+p₂q₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

p₁+q₁x=0⇒x=−p₁/q₁,

p₂+q₂x=0⇒x=−p₂/q₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

p₁/q₁=p₂/q₂,证毕。

1、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=120,x²+y²+z²=129,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

120*129≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤15480,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤2√3870，

所以ax+by+cz的最小值为：2√3870.

1、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=72,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

72*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤216，

所以正数x+y+z的最小值=6√6。

1、 

※.若a+b+c=142,求400a²+16b²+121c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

400a²+16b²+121c²=(20a)²+(4b)²+(11c)²

进一步变形为：

[(20a)²+(4b)²+(11c)²][(1/20)²+(1/4)²+(1/11)²]，

≥[(20a/20)+(4b /4)+(11c/11)]²，

=(a+b+c)²=142²，即：

(400a²+16b²+121c²)*(394*12²/880²)≥142²，

所以：400a²+16b²+121c²≥(1/394)*(31240/3)²。

1、 

※.若4x+22y+23z=144,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(4²+22²+23²)≥(4x+22y+23z)²,即：

(x²+y²+z²)(4²+22²+23²)≥144²,

(x²+y²+z²)*1029≥144²,

x²+y²+z²≥144²/(1029),

即：x²+y²+z²≥6912/343,

所以x²+y²+z²的最小值=6912/343。