Mathematica应用——变换图形

1、        首先，绘制一个单位圆形和椭圆形。

圆的方程是：x^2+y^2==1;

椭圆的方程是：x^2/2^2+y^2==1。

        然后把单位圆形转化为椭圆形。

        不知道为什么，用网页版Mathematica导出的动态图就能播放一次呢？比如下面第三幅图。

2、        下面用另一种方法，把单位圆变成椭圆，其实很简单，只要在方程里面填上参数就行。

x^2/a^2+y^2==1

        当a从1变为2，就是一个变形过程。而且代码也简单的多：

Manipulate[ContourPlot[x^2/a^2+y^2==1,{x,-2.1,2.1},{y,-1.1,1.1},AspectRatio->Automatic],{a,0,1}]

3、圆的参数方程是：{Cos[u],Sin[u]};

椭圆的参数方程是：{2 Cos[u],Sin[u]}；

        试图用参数方程实现图形的转化。

        同样是有两种转化方法，第一种方法是：

(1-a)*{Cos[u],Sin[u]}+a*{2 Cos[u],Sin[u]}，其中a从0变为1；

        第二种方法是：

{a*Cos[u],Sin[u]}，其中a从1变为2。

4、        这一次，把圆变成正方形，同时要求圆和正方形的面积都是1。

        其中，正方形的方程是：

Abs[x]+Abs[y]==1/Sqrt[2]；

        圆的方程是：

Abs[x]^2+Abs[y]^2==1/Pi。

        不过，转化过程就只能使用第一种方法了，因为我没有求出Abs[x]^a+Abs[y]^a==1的面积公式，所以无法用第二种方法。

        这个“化圆为方”是不完美的，中间过程并没有保持图形面积不变，好在首尾的正方形和圆形的面积都是1。

        要想获得保持面积始终相等的变形过程，看看大家有没有好的办法？

5、                再来一个三维的例子，把球形变成正八面体。

        不过，这一次不去刻意追求面积或体积相等，而是放宽限制，便于用第二种方法进行变形。

        正八面体的方程是：

Abs[x]+Abs[y]+Abs[z]==1

        于是，Abs[x]^a+Abs[y]^a+Abs[z]^a==1，当a从2变为1，就实现了球到正八面体的转化。

        网页版Mathematica执行不了这个互动代码，因为用时间太长？

6、        最后，请大家思考结合问题：

        正方形的参数方程是什么？

        正方体的隐函数方程和参数方程是什么？

        正八面体的参数方程是什么？

        上面第四步“化圆为方”的过程中，如果要求变形过程里所有的图形都保持面积不变，能实现吗？