三次奇函数函数y=x^3-6x的图像及其性质

1、        通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=x^3-6x的图像的主要步骤。

1、由于函数y=x^3-6x自变量x可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、计算求出函数y=x^3-6x的一阶导数，结合函数的定义域求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，并计算出函数的单调区间。

3、如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

4、函数y=x^3-6x的极限，即求出函数y=x^3-6x在无穷处的极限。

5、函数y=x^3-6x的奇偶性，因为f(-x)=-f(x),所以函数y=x^3-6x为奇函数，函数图像关于原点对称，具体判断过程如下图所示：

6、本题三次奇函数y=x^3-6x图像上部分点，列出五点示意图解析函数上的五点图如下表所示。

7、综合以上函数y=x^3-6x的相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。

1、已知函数y=x^3-6x，求:(1)求函数f(x)在点A(0,f(0))处的切线；(2)求函数f(x)单调区间及极值。

2、当x=0时，y(1)=1*0^3-6*0=0;

y=13-6x,求导得：

y´=2x2-6,当x=0时，

y´(1)=2*0^2-6=-6，即为切线的斜率。

则切线的方程为:

y-0=-6(x-0),化为一般方程为：

y+6x=0。

3、y´=2x^2-6，令y´=0，则x=±√3 .

1).当x∈(-∞，-√3 )和(√3 ，+∞)时，

y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-√3 ,√3 ]时，

y´<0,此时函数y=x^3-6x为单调减函数，所求区间为单调减区间。

则在x1=-√3 处取极大值，在x2=√3 处取极小值。

所以：

极大值=f(-√3 )

=-(√3 )3-6*(-√3 )=3√3;

极小值=f(√3 )

=(√3)3-6*(√3 )=-3√3。