y=(x^3+9x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=(x^3+9x^2)/(x-1)^2示意图的主要步骤。

2、∵y=(x^3+9x^2)/(x-1)^2

∴dy/dx

=[(3x^2+18x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+9x^2)]/(x-1)^4

=[(3x^2+18x)(x-1)-2(x^3+9x^2)]/(x-1)^3

=x[(3x+18)(x-1)-2(x^2+9x)]/(x-1)^3

=x(x^2-3x-18)/(x-1)^3

令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-18=0.

3、函数的单调性：通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-18x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-18)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-18x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-18)(x-1)-3(x^3-3x^2-18x)]/(x-1)^4

=(42x+18)/(x-1)^4

=6(7x+3)/(x-1)^4  

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 7x+3=0，即x=-3/7.

(1).当x∈(-∞，-3/7)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-3/7,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、函数五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

7、x 2 3 4 5 6

y 44 27 23.11 21.87 21.6

x 6 6.2 6.4 6.6 6.8

y 21.6 21.60 21.63 21.66 21.71

8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：