sin27和sin27.1度的近似计算

1、      详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin27°及sin27.1°近似值的主要思路和步骤。主要公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。

2、∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.

则有△y≈cosx△x，此时有：

sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。

需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。

对于本题有：

x=27°=30°+△x,△x=-0.052。

则：

sin27°≈sin30°+cos30°*(-0.052)，

≈sin30°+cos30°*(-0.052)，

≈0.455。

注意：本题中取x0为30°，当27°越接近30°时，

近似值精确度越高。

3、方法二：泰勒公式计算

1.sinx，cosx在x=0处泰勒展开

根据泰勒幂级数展开，有：

sinx

=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...+(-1)n*x2n+1/(2n+1)!,

cosx

=1-x2/2!+x4/4!+...+(-1)n*x2n/2n!。

其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。

4、2.sinx在x=π/6处泰勒展开

 sinx=sin(x-π/6+π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)

=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!

+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!

=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]

=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]。

5、当n=1时的近似表达式

 sinx

≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)3/3!]-(x-π/6)2/4

≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)2-(x-π/6)/4]

≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)2-3(x-π/6)]

≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)2-√3(x-π/6)]

对于本题：x-π/6=3π/20-π/6≈(-0.052),则：

sin27°

≈1/2+(√3/12)*(-0.052)*(6-(-0.052)2-√3*(-0.052))

≈0.454。                                   

6、x=27.1°=30°+△x,△x=-0.051。

则：

sin27.1°≈sin30°+cos30°*(-0.051)，

≈sin30°+cos30°*(-0.051)，

≈0.456。

注意：本题中取x0为30°，当27.1°越接近30°时，

近似值精确度越高。

7、sinx=sin(x-π/6+π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)

=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!

+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!

8、对于本题：x-π/6=271π/1800-π/6≈(-0.051),则：

sin27.1°

≈1/2+(√3/12)*(-0.051)*(6-(-0.051)2-√3*(-0.051))

≈0.455。