y=(x^3+2x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵x-1≠0，

∴x≠1，即函数的定义域为：

(-∞,1)∪(1,+∞）

2、函数的单调性

∵y=(x^3+2x^2)/(x-1)^2

∴dy/dx

=[(3x^2+4x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+2x^2)]/(x-1)^4

=[(3x^2+4x)(x-1)-2(x^3+2x^2)]/(x-1)^3

=x[(3x+4)(x-1)-2(x^2+2x)]/(x-1)^3

=x(x^2-3x-4)/(x-1)^3

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-4=0.

当x^2-3x-4=0时，有：

x2=-1，x3=4.

(1).当x∈(-1,0), (1,4]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，-1],[0,1),(4，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-4x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-4)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-4x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-4)(x-1)-3(x^3-3x^2-4x)]/(x-1)^4

=(14x+4)/(x-1)^4

=2(7x+2)/(x-1)^4   

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 7x+2=0，即x=-2/7.

(1).当x∈(-∞，-2/7)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-2/7,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、函数的极限

lim(x→-∞)(x^3+2x^2)/(x-1)^2=-∞

lim(x→1+)(x^3+2x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→1-)(x^3+2x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→+∞)(x^3+2x^2)/(x-1)^2=+∞

7、函数上的部分点解析表

8、函数上的部分点解析表

9、     综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：