【抽象代数】Gauss整数环的因子分解

1、Gauss整数环的单位是：1、-1、i、-i。

容易判断，这些元素在Gauss整数环里面，都存在乘法逆:

1的乘法逆是1；

-1的乘法逆是-1；

i和-i互逆。

2、假设a+bi是Gauss整数环的一个单位，其中a和b都不等于0，那么，a+bi就应该存在乘法逆。

这会导致矛盾。

3、所以，Gauss整数环的单位就这么多，没有更多了。

1、��是Gauss整数环的素元。

这是因为：1+i和1-i都不是Gauss整数环的单位，也不是零元。

2、i和1-i都是Gauss整数环的素元。

反设不是，那么就存在非零整数a、b、c、d，使得：

1+i=(a+bi)(c+di)

这会导致矛盾。

3、��是Gauss整数环的素元。

反设不是，那么就存在非零整数a、b、c、d，使得：

3=(a+bi)(c+di)

这也会导致矛盾。

4、整数环里面任意素数p，要么是一个高斯素数，比如3；要么是一对共轭的Gauss素数的乘积，比如2。

这样，每一个整数，在Gauss整数环里面存在唯一的因子分解。

但是，这还不足以证明，Gauss整数环是唯一因子分解整环。