两点间距离最小值计算应用解析A2

1、█已知两点其中一点含有参数情形

例题1：已知平面直角坐标系上有两点，点E(30,30)与点F(p,p+30)，则EF的最小值为多少？

解：本例子中，E,F两个点中，其中一个点含有未知数，

根据两点间公式，有：

EF=√[(p-30)²+(p+30-30)²],

=√[(p-30)²+p²],

=√[2(p-15)²+450],

可知当p=15时，EF有最小值，即：

EFmin=√(0+450)=15√2.

2、█已知两点都含有参数情形

例题2：已知平面直角坐标系内有两点，点P(27,z)与点Q(z+24,5)，则PQ的最小值为多少？

解：根据两点间公式，有：

PQ=√[(27-z-24)²+(z-5)²],

=√[(z+3)²+( z-5)²],

=√[2(z-1)²+32],

同理，根式内部看成z的一元二次方程，可知当z=1时，PQ有最小值，此时最小值为：

PQ=√(0+32)=4√2.

3、█已知两点过抛物线情形

例题3：已知点A(d,y₁)与点B(d+25,y₂)在抛物线y= x²/6的图像上，且-13≤d≤13，则线段AB长的最大值、最小值分别是多少？

解：根据两点间公式，有：

AB=√[(d+25-d)²+( y₂-y₁)²],

=√[(25²+( y₂-y₁)²].

4、由于两点在抛物线上，则：

y₂-y₁=(1/6)[(d+25)²-d²]=(1/6) (2*25d+25²),

此时AB=√[25²+(1/6)²(2*25d+25²)²]

=25√[1+(1/6)²(2d+25)²],

=(25/6)√[6²+(2d+25)²]，则有：

当2d=-25时，有ABmin=25.

当d=13时，有：

ABmax=(25/6)√[6²+(2*13+25)²]

=(25/2)√293.

5、█已知两点过反比例函数情形

例题4：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=29/x的图像交于点E，F两点，则直线EF长的最小值多少？

解：设E (t, 29/t)，根据交点的对称性可知，F (-t,-29/t)，

由两点距离公式有：

6、EF=√[(t+t)²+(29/t+29/t)²]

=√(4*t²+4*29²/t²)

=2√(t²+29²/t²)

≥2√(2*29)=2√58.

知识点：本题反比例函数图像在第一、三象限，过原点的直线为正比例函数，则与反比例函数的交点必在第一象限和第三象限，且这两个点的横、纵坐标分别互为相反数。