分式函数y=4/(x^2-1)的图像

1、 函数的定义域，因为函数分母中含有自变量，所有要求分母不为0，进而求出定 义域。

∵ x2 - 1 ≠ 0

∴ x2 ≠ 1

x ≠ ± √1 = ± 1.00

则函数的定义域为：

(-∞ , - 1 ) ∪ ( - 1 ， + 1 ) ∪ ( + 1 , +∞）。

2、函数的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数的单调区间。

∵ y = ( x2 - 1 ) -1

∴ y' = - ( x2 - 1 ) -2 * 8 x

= - 8 x ( x2 - 1 ) -2

令y'=0，则：

x= 0；

3、结合定义域，则函数的单调性如下：

 (1). 当 x ∈ (-∞ , - 1 ) ∪ ( - 1 ， 0 ) 时 ，

y' >0,此时函数为单调增函数，则区间为增区间。

 (2). 当 x ∈ ( 0 , + 1 ) ∪ ( + 1 , +∞ ) 时 ，

y' <0,此时函数为单调减函数，则区间为减区间。

4、函数极限，函数的极值及在无穷大处的极限：

5、函数的凸凹性，求出函数的二阶导数，即得到函数的拐点，通过函数的二阶导数的符号，判断函数的凸凹性性，进而解析函数的凸凹区间。

6、判断函数的奇偶性，确定其对称性。

7、函数的部分点解析表，函数上部分点列表如下：

8、根据以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等性质，函数的示意图如下：