x^2+y^2=35,多种方法计算x+y和xy的最值

1、x^2+(k-x)^2=35

x^2+k^2-2kx+x^2=35

2x^2-2kx+k^2-35=0

判别式△=4k^2-8(k^2-35)≥0

-4k^2≥-8*35

k^2≤70，即：-√70≤k≤√70.

所以x+y的最大值为√70，最大值为-√70。

2、由x^2+y^2=35，设x=√35cost，y=√35sint，则：

x+y=√35cost+√35sint

=√70(sint+π/4).

当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√70；

当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√70；

3、∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2

∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)

即：

(x+y)^2≤70，则：

-√70≤x+y≤√70.

此时x+y的最小值=-√70，最大值=√70。

4、直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

xy

=x√(35-x^2)

=±√[x^2(35-x^2)]

=±√[(35^2/4)-(x^4-35x^2+35^2/4)]

=±√[(35^2/4)-(x^2-35/2)^2].

则xy的最大值为35/2,最小值为-35/2.

5、换元法，设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

x^2+y^2=35

x^2+p^2/x^2=35

x^4-35x^2+p^2=0

判别式△=35^2-4p^2≥0,即：

p^2≤35^2/4

-35/2≤p≤35/2

此时得xy=p的最大值=35/2，最小值=-35/2.

6、三角换元法，将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。

由x^2+y^2=35，设x=√35cost，y=√35sint，则：

xy=√35cost*√35sint

=35*(1/2)sin2t

=(35/2)sin2t

当sin2t=1时，x+y有最大值=35/2；

当sin2t=-1时，x+y有最小值=-35/2.

7、∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|

∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=35/2

即：-35/2≤xy≤35/2.

则xy最大值为35/2,最小值为-35/2.