在0至1范围，求函数y=x(1-x)的最大值的主要步骤

1、通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法，介绍已知当0＜x＜1时，求函数y=x(1-x)的最大值的主要步骤。

2、因为y=x(1-x)，所以y=x-x^2=-x^2+x,

其对称轴x=b/2a=-1/2*(-1)=1/2∈(0,1),

该二次函数的开口向下，所以在对称轴处取得最大值，则：

ymax=f(1/2)

=(1/2)*(1-1/2)

=1/4.

3、由不等式ab≤(a+b)^2，a，b∈R+知：

y=x(1-x)

≤{[x+(1-x)]/2}^2

=( 1/2)^2=1/4.

4、计算函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值。

5、∵y=x(1-x)，∴y=x-x^2,对x求导有：

dy/dx=1-2x，令dy/dx=0,则：

1-2x=0，此时x=1/2，且有：

(1)    当x∈(0，1/2)时，dy/dx＞0，函数为增函数；

(2)    当x∈[1/2，1)时，dy/dx≤0，函数为减函数。

则当x= 1/2时，y取最大值，此时ymax=1/4。