怎么理解群论里面的共轭的相关概念？

1、设a和x是群G里面的元素，y是x的逆元素，那么，xay称为a关于x的共轭。

比如，在3阶置换群S3里面：

单位元是I=(1,2,3)——也就是不置换；

a=(2,1,3)——对换前两个元素；

x=(2,3,1)——轮换，把第一个元素放到最后面。

那么，x的逆元素，就是y=xx=(3,1,2)；

a关于x的共轭，就是xay=xa(3,1,2)=x(1,3,2)=(3,2,1)。

而ax也是(3,2,1)，所以，a关于x的共轭 xay=ax。

2、a关于G里面每一个元素，都有一个共轭，这些共轭的集合，称为a的共轭类。

比如，在S3里面，a=(2,1,3)的共轭类是可以逐个求出来的：

S3={(1,2,3),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2)}={I,a,x,xx,ax,xa}，

其中，a的逆元素是a，x的逆元素是xx，ax的逆元素是ax，xa的逆元素是xa，

那么，a关于I的共轭是a；

a关于x的共轭是xaxx=ax；

a关于xx的共轭是xxax=xa；

a关于ax的共轭是axaax=axx=xa；

a关于xa的共轭是xaaxa=xxa=ax；

所以，a在S3里面的共轭类是{a,ax,xa}。

1、共轭不变：

给定G的元素a，如果对某个G中的元素x，a关于x的共轭等于a，那么，就说x是a的共轭不变元。

例如S3={(1,2,3),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2)}={I,a,x,xx,ax,xa}里面，

a关于I的共轭等于a，那么I就是a的共轭不变元。

2、G里面，a的所有共轭不变元的集合，称为a的中心化子。

例如S3={(1,2,3),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2)}={I,a,x,xx,ax,xa}里面，

a的中心化子是{I,a}，

因为，IaI=a，aaa=a。

3、中心化子与共轭类有一个重要联系，那就是：

如果G里面有n个元素，a的共轭类有m个元素，

那么，a的中心化子就有n/m个元素。

这里需要注意，m能整除n，这一点很重要。

比如，在S3={(1,2,3),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2)}={I,a,x,xx,ax,xa}里面，

S3有6个元素，a的共轭类有3个元素，a的中心化子有2个元素，

进而有，6=2*3。