计算过（2,4）圆x^2+y^2=1割线的中点轨迹方程

1、       介绍用参数轨迹法等由圆x^2+y^2=1外一点p（2,4）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

2、     此时圆x^2+y^2=1与点p(2，4)在同一坐标系示意图为。

1、设弦AB的中点M的坐标为M(x,y)，连接OP,0M，

则OM⊥AB，在△OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有OP2=PM2+OM2,即：

(2-0)2+(4-0)2=[(x-2)2+(y-4)2]+[(x-0)2+(y-0)2]

22+42=x2-4x+22+y2-8y+42+x2+y2,

0=x2-4x+y2-8y+x2+y2,故：

x2+y2-2x-4y=0,其中：-1≤x≤1.

为所求圆割线中点的轨迹方程。

2、根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。

3、解:∵M（x,y）是AB的中点，所以OM⊥AB,点M的轨迹是以OP为直径的圆，圆心为(1,2)，半径r=|op|，圆的方程为：

(x-1)2+(y-2)2=[(2-0)2+(4-0)2],化简，得:

x2-2x+1+y2-4y+4=*22+*42,即所求圆割线中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y=0,其中：-1≤x≤1.

4、将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。

解:设过p点的割线的斜率为k，则过p点的割线方程为：y-4=k(x-2),

∵OM⊥AB且过原点，

∴OM的方程为y=-*x，即：ky=-x。

这两条直线的交点就是M点的轨迹。

5、由割线方程得：k=（y-4）/(x-2) ,代入OM方程得：

(y-4)/(x-2)*y=-x，化简得：

y(y-4)=-x(x-2)

y2-4y=-x2+2x,即所求轨迹方程为：

x2+y2-2x-4y=0,其中：-1≤x≤1.

6、将动点坐标表示成某一中间变量即参数的函数，再设法消去参数。由于动点M(xi,yi)随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数。

7、解：设过P点的割线方程为：y-4=k(x-2), 它与圆

x2+y2=R2的两个交点为A、B，AB的中点为M.解方程组:

y-4=k(x-2),

x2+y2=1

消去y得：x2+(kx-2k+4)2=1,即：

   (1+k2)x2-2k(2k-4)x+(4-2k)2-1=0,

8、解：设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则:

x1+x2=2x,y1+y2=2y，

∵x12+y12=1，x22+y22=1，两式减得：

(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0,即：

化简得：

y(4-y)+x(2-x)=0,即所求轨迹方程为：

x2+y2-2x-4y=0,其中：-1≤x≤1.