【微分几何】如何绘制一种较为完美的球面螺旋？

1、球面的经纬度网格，可以确定球面上每一个点，但是极点位置上的经度，则是不易确定的，因此会发生扭曲。

今天的方法，可以有效地避免扭曲。

先画出球面：

aa = ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u]}, {u, 0, 

   2 Pi}, {v, 0, Pi}, Axes -> False, Boxed -> False, 

  PlotStyle -> Opacity[0.36]]

2、来确定北极点的位置：

aa = Show[

  ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u]}, {u, 0, 

    2 Pi}, {v, 0, Pi}, Axes -> False, Boxed -> False, 

   PlotStyle -> Opacity[0.36]],

  Graphics3D[{Blue, 

    Ball[{Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u]} /. u -> Pi/2, 0.05]}],

   PlotRange -> All]

3、让北极点绕着x轴旋转，旋转角度为v，再绕着z轴旋转，旋转角度为2v，看看旋转点的轨迹曲线：

ParametricPlot3D[{Sin[v] Sin[2 v], -Cos[2 v] Sin[v], Cos[v]}, {v, 0, 

  Pi}, PlotStyle -> Green]

4、如果把上面绕着z轴旋转的角度改为nv，旋转点的轨迹曲线变成如下的形式：

{Sin[v] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v], Cos[v]}

5、在作图的时候，对n赋值，就可以得到不同的图形。

比如，n赋值为3：

ParametricPlot3D[{Sin[v] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v], Cos[v]} /. n -> 3,

   {v, 0, Pi}, PlotStyle -> Green]

6、n赋值为16的时候，螺旋线的特征已经很明显了。