y=(x^3+6x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、函数的定义域∵x-1≠0，∴x≠1，即函数的定义域为：(-∞,1)∪(1,+∞）。

2、∵y=(x^3+6x^2)/(x-1)^2

∴dy/dx

=[(3x^2+12x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+6x^2)]/(x-1)^4

=[(3x^2+12x)(x-1)-2(x^3+6x^2)]/(x-1)^3

=x[(3x+12)(x-1)-2(x^2+6x)]/(x-1)^3

=x(x^2-3x-12)/(x-1)^3

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-12=0.

当x^2-3x-12=0时，有：

x2=(3-√57)/2，x3=(3+√57)/2.

(1).当x∈((3-√57)/2,0), (1,(3+√57)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√57)/2],[0,1),((3+√57)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、函数的凸凹性

∵dy/dx=(x^3-3x^2-12x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-12)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-12x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-12)(x-1)-3(x^3-3x^2-12x)]/(x-1)^4

=(30x+12)/(x-1)^4

=6(5x+2)/(x-1)^4 。

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 5x+2=0，即x=-2/5.

(1).当x∈(-∞，-2/5)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-2/5,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数

6、如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

7、lim(x→-∞)(x^3+6x^2)/(x-1)^2=-∞

lim(x→1+)(x^3+6x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→1-)(x^3+6x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→+∞)(x^3+6x^2)/(x-1)^2=+∞

8、x-6.27-5.27-4.27-3.27-2.27

y-0.200.5151.1351.6011.797

x-2.27-1.33-0.4-0.20

y1.7971.5210.4570.1610

9、x00.10.20.30.4

y00.0750.3871.1572.844

x22.813.634.455.27

y3221.2318.3417.3817.16

x5.275.475.675.876.07

y17.1617.1717.2017.2417.30

10、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：