用Mathematica分析一个网友的问题

1、声明：本文所有的角度，如果没有特殊交代，都采用弧度制！

初看此题，感觉应该没什么难度，所以，直接进行三角函数变形：

2、提取公因式：

3、我的能力，也就能转化到这一步了。可以发现，原题对应着两个基本情形：

sin ( π/2-A-B)/2=0

或者

cosA•cos ( π/2-A+B)/2+cosB•cos(π/2+A-B)/2=0

4、前者，可以直接推导出：

A+B= π/2，

而后者，我实在是难以转换，于是，我打算用Mathematica来试试。

首先，宽泛地作出它对应的图像——

图中的蓝色平面就是平面z=0。

5、由这个条件显然解不出A和B的具体值，所以我假设A+B=a，通过给a赋值，并解方程组：

Manipulate[FindInstance[Cos[A] Cos[(Pi/2-A+B)/2]+Cos[B] Cos[(Pi/2+A-B)/2]==0&&A+B==a&&0<A<Pi&&0<B<Pi,{A,B},10]//N,{a,0,Pi,Pi/100}]

通过拖动a的滑块，可以改变a的值，对应的结果随之改变！

空白的花括号“{}”表示方程无解。也就是说，此时的a使方程组无解！需要拖动 a，使之大于直角才有可能行！

由此可知，确定这种情况下对应的三角形的形状，是基本不可能的！

6、下面回到原题，看看Mathematica能不能化简这个式子：

TrigExpand[Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[A+B]]

TrigReduce[Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[A+B]]

TrigToExp[Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[A+B]]

TrigFactor[Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[A+B]]

7、对原题里面的方程进行整体绘图：

ContourPlot[Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[Pi-A-B]==0,{A,0,Pi},{B,0,Pi}]

.

Plot3D[{Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[A+B],0},{A,0,Pi},{B,0,Pi},PlotStyle->{{Red,Opacity[0.5]},{Green,Opacity[0.5]}}]

8、如果放开对A、B角度的限制，可以适当扩大作图区域：

Plot3D[{Cos[A]^2+Cos[B]^2-Sin[A+B],0},{A,-3 Pi,3 Pi},{B,-3 Pi,3 Pi} ,

    PlotStyle->{{Red,Opacity[0.5]},{Green,Opacity[0.5]}}]