y=(x^3+x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=(x^3+x^2)/(x-1)^2示意图的主要步骤。

2、函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

3、当x^2-3x-2=0时，有：

x2=(3-√17)/2，x3=(3+√17)/2.

(1).当x∈((3-√17)/2,0), (1,(3+√17)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√17)/2],[0,1),((3+√17)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-2x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-2)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-2x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-2)(x-1)-3(x^3-3x^2-2x)]/(x-1)^4

=(10x+2)/(x-1)^4

=2(5x+1)/(x-1)^4  

。

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 5x+1=0，即x=-1/5.

(1).当x∈(-∞，-1/5)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-1/5,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数

6、函数五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

7、函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

8、函数的示意图：综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：