当2a+40b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤

1、思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/40-1/20*a)

=-1/20*a^2+9/40*a

=-1/20(a-9/4)^2+81/320，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/320。

2、思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+40b=9,

2a+40p/a=9,

2a^2-9a+40p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-320p≥0,即：

p≤81/320,

此时得ab=p的最大值=81/320。

3、思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+40b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，40b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/40(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/40(sint)^2,

=81/320*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/320。

4、思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,40b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/40)(9/2-t)

此时有：

ab=1/80*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/80*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/320,

则ab的最大值为81/320。

5、思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+40b≥2√80*ab,

∴(2a+40b)^2≥320*ab,

81≥320*ab,

即：ab≤81/320,

则ab的最大值为81/320。

6、思路六：数形几何法

如图，设直线2a+40b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：                

2a0+40b0=9,b0=a0tanθ,            

2a0+40a0tanθ=9，得

a0=9/(2+40tanθ),                   

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+40tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+160+1600|tanθ|]

≤81/(160+160)=81/320。

则ab的最大值=81/320.

7、思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+40b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-40λ,

f'λ=2a+40b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=2λ,a=40λ。进一步代入得：

80λ+80λ=9,即λ=9/160.

则有a=9/4,b=9/80.

ab的最大值=9/4*9/80=81/320。