如何用导数知识画函数y=log3(x^2+5)的示意图

1、函数定义域：

根据对数函数的定义域要求，函数的真数部分为非负数，即要求：

x^2+5>0，根据该不等式的特征，可知不等式恒成立，即

函数y的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

2、函数的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数的单调区间。

y=log3(x^2+5),

dy/dx=d(x^2+5)/[ln3(x^2+5)],

dy/dx =2x/[ln3(x^2+5)],令dy/dx=0,则：x=0,即有：

(1)当x∈[0,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数单调递增，区间为增区间；

(2)当x∈(-∞,0)时，dy/dx＜0，此时函数单调递减，区间为减区间。

3、计算出函数的二阶导数，根据函数的二阶导数的符号，判断函数的单调性，并解析函数的凸凹区间。

dy/dx =2x/[ln3 (x^2+5)],

d^2y/dx^2=(2/ln3)*[(x^2+5)-x*2x]/(x^2+5)^2,

d^2y/dx^2=(2/ln3)*(5-x^2)/(x^2+5)^2,

令d^2y/dx^2=0，则x^2=5，即：

x1=-√5，x2=√5。

1. 当x∈(-∞, -√5) ,( √5,+∞)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数；

2. 当x∈[-√5,√5]时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数。

4、函数的极限性质，即函数在间断点处的极限。

Lim（x→-∞）log3(x^2+5)=+∞，

Lim（x→0）log3(x^2+5)=log3 5，

Lim（x→+∞）log3(x^2+5)=+∞：

5、函数的奇偶性，判断函数的奇偶性。

设f(x)=log3(x^2+5)，则有：

f(-x)=log3 [(-x)^2+5]=log3(x^2+5)=f(x),

即函数偶函数，函数图像关于y轴对称。

6、函数图上，部分点以图表解析表列举如下：

例如，当x=0时，y=log3(0+5)=log35,此时底数为3，真数为5.

7、函数的示意图，综合以上函数的性质，函数的示意图如下：