当x^2+y^2=43时多种方法求x+y和xy最值

1、先求x+y的最值，设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。

x^2+(k-x)^2=43

x^2+k^2-2kx+x^2=43

2x^2-2kx+k^2-43=0

判别式△=4k^2-8(k^2-43)≥0

-4k^2≥-8*43

k^2≤86，即：-√86≤k≤√86.

所以x+y的最大值为√86，最大值为-√86。

2、利用三角函数换元，求得x+y的最大值。

 由x^2+y^2=43，设x=√43cost，y=√43sint，则：

x+y=√43cost+√43sint

=√86(sint+π/4).

当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√86；

当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√86；

3、∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2

∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)

即：

(x+y)^2≤86，则：

-√86≤x+y≤√86.

4、替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

xy

=x√(43-x^2)

=±√[x^2(43-x^2)]

=±√[(43^2/4)-(x^4-43x^2+43^2/4)]

=±√[(43^2/4)-(x^2-43/2)^2].

则xy的最大值为43/2,最小值为-43/2.

5、设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

x^2+y^2=43

x^2+p^2/x^2=43

x^4-43x^2+p^2=0

判别式△=43^2-4p^2≥0,即：

p^2≤43^2/4

-43/2≤p≤43/2

6、三角换元法，将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。

由x^2+y^2=43，设x=√43cost，y=√43sint，则：

xy=√43cost*√43sint

=43*(1/2)sin2t

=(43/2)sin2t

当sin2t=1时，x+y有最大值=43/2；

当sin2t=-1时，x+y有最小值=-43/2.

7、∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|

∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=43/2

即：-43/2≤xy≤43/2.