【抽象代数】不定方程y^2+4=z^3的全面解答

1、如果y是奇数，左边可以分解为y+2i和y-2i的乘积，我们要证明y+2i和y-2i互素。

2、于是，y+2i必定是某个Gauss整数（设为a+bi）的三次方。

我们要证明，b=-2。

3、根据b=-2，可以找出两组解。

这是y是奇数的时候，仅有的两组解。

4、当y是偶数，那么z也是偶数。设x=2p，y=2q，那么：

4p^2+4=8q^3

p^2+1=2q^3

所以p必定是奇数。

两边在Gauss整数环内部分解因式：

5、假设p+i和p-i的最大公因数是r，那么r可能等于1，1-i，2。

如果r=1，那么，p+i和p-i互素，此时，2只能整除p+i和p-i其中的某一个，这是矛盾的；

r也不可能等于2；

所以，r=1-i。

于是，有下面的分析：

6、分别比较实部和虚部，得到下面两个等式。

7、根据第二个等式，可以找出满足要求的a和b。