n倍角公式的证明和应用

1、        先来考虑一个函数方程：

        设g(x)在复数范围内处处可导，且对任意复数x，y，恒有:g(x+y)g(x-y)=g^2 (x)-g^2 (y)。求g(x)的解析式！

        解答过程如图，采取的对策是，通过微积分的方法来快捷地处理。

2、        根据上面的结论，可以得到一个简洁有用的推论。这是正弦函数的内蕴性质：

3、        n倍角公式的定义如下图。

        这个公式的证明过程，采取的对策是用n元一次方程的韦达定理来处理。步骤经过凝缩，如果读不懂，可以去参考韦达定理、棣莫弗定理。

4、        两边同除以sinx，显然，当x=0时，这是不允许的。但可以用求极限的方法，来处理这个问题。毕竟，极限理论可以处理0/0之流的不定式。

        所以有以下推论：

5、        用Mathematica来检验n倍角公式的正确性。

        代码如下：

6、应用：

        用n倍角公式证明二次互反律。这个证明方法，应该是由著名数学家Dirchlet发现的。

7、应用：

        用3倍角公式来证明Morley定理。

        如图：△ABC的三个内角的三等分线交于D、E、F。

        求证：△DEF是正三角形。