分式函数y=(x^3+7x^2)/(x-1)^2的图像示意图

1、函数的定义域∵x-1≠0，∴x≠1，即函数y=(x^3+7x^2)/(x-1)^2的定义域为：(-∞,1)∪(1,+∞）。

2、 函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-14=0.

当x^2-3x-14=0时，有：

x2=(3-√65)/2，x3=(3+√65)/2.

(1).当x∈((3-√65)/2,0), (1,(3+√65)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√65)/2],[0,1),((3+√65)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-14x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-14)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-14x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-14)(x-1)-3(x^3-3x^2-14x)]/(x-1)^4

=(34x+14)/(x-1)^4

=2(17x+7)/(x-1)^4   侨恩

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 17x+7=0，即x=-7/17.

(1).当x∈(-∞，-7/17)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-7/17,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、x-6.53-5.53-4.53-3.53-2.53

y0.3531.0541.6572.1072.296

x-2.53-1.47-0.41-0.200

y2.2961.9580.5570.1880

x00.10.20.30.4

y00.0870.451.3403.288

7、x22.883.764.645.53

y3623.1819.9618.9118.67

x5.535.735.936.136.33

y18.6718.6818.7018.7418.80

8、综合以上函数的定义域、值域、慎泉单调性、凸凹性和极限等性质诸三裁，函数y=(x^3+7x^2)/(x-1)^2的示意图如下：