解析函数y=2^(4x^2+2x+10)的性质

1、     本文主要介绍指数复合函数y=2^(4x^2+2x+10）的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

2、      如果g(x)在[a，b]上是减函数，f(u)在[g(b)，g(a)]上是增（减）函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上减（增）函数。

3、复合函数单调性判断

对于本题,该复合函数可由以下两个函数复合而成:

y=2^u,u=2^(4x^2+2x+10），

其中y=2^u,是指数函数，在定义域上为增函数。

则当u为增函数时，y为增函数，反之亦然。

对于u=4x^2+2x+10为二次函数，单调性与开口和对称轴有关，其中开口向上，对称轴为x=-1/4,则：

(1)当x∈(-∞，-1/4)时，函数为减函数；

(2)当x∈(-1/4,+∞)时，函数为增函数。

4、函数的极值：

此处介绍用函数的导数知识求解，步骤为：

∵y=2^(4x^2+2x+10）,

∴dy/dx=2^(4x^2+2x+10)*ln2*(8x+2),

令dy/dx=0,则：8x+2=0,即x=-1/4.

(1)当x∈(-∞，1/4)时，dy/dx<0,函数为减函数；

(2)当x∈(-1/4,+∞)时，dy/dx>0,函数为增函数。

则当x=-1/4时，函数有最小值，即：

ymin=2^[4*(-1/4)^2-1/2+10]=2^(39/4).

可知函数的值域为：[2^(39/4),+∞)

5、函数的凸凹性：

dy/dx=2^(4x^2+2x+10)*ln2*(8x+2)

d^2y/dx^2

=ln2*[2^(4x^2+2x+10)(8x+2)^2*ln2+2^(4x^2+2x+10)*8]

=ln2*2^(4x^2+2x+10)[(8x+2)^2*ln2+8]

∵(8x+2)^2>0,∴(8x+2)^2*ln2+8>0,

即d^2y/dx^2>0，则函数的图像为凹函数。

6、※举例求点A(0,2^10)处的切线和法线方程。

在点A(0,2^10)处，有:dy/dx=2*2^10*ln2,即为切线的斜率，

则切线方程为：y-2^10=2ln2*2^10*x,

法线的斜率与切线的斜率乘积为-1，即可求出法线方程为：

y-2^10=-x/(2ln2*2^10).

7、举例求点B(-1/4, 2^(39/4))处的切线和法线方程。

在点B(-1/4,2^(39/4))处，有:

dy/dx=ln2*0=0,即为切线的斜率，

则切线方程为：y=2^(39/4),

此时法线的斜率不存在，则法线方程为：

x=-1/4.