用三种方法判断方程e^x-x=0实数根的个数

1、思路：函数单调性知识的应用。

2、       方程变形为：e^x=x,左边为函数y1=e^x,右边函数为y2=x。

从值域上看，对于函数y1=e^x>0,所以y2=x>0。

        在x属于（0，+∞）的区间上时候，函数y1=e^x为增函数，y2=x也为增函数。

        当x取最小值x=0的时候，y1=e^0=1,所以函数y1>=1,同理当x=0的时候，y2=0，即y2>0,则y2>=0,由于y1min>y2min,所以y1与y2没有交点，故方程e^x-x=0,没有实数根。

1、思路：函数的数形相结合的方法。

2、        方程变形为：e^x=x,左边为函数y1=e^x,右边函数为y2=x。分别画出其函数图象。

        因为方程为e^x=x,所以只需要考虑x<0,即在第一象限的图象即可。

        在第一象限内，函数y1=e^x与y轴有交点为(0,1),随后函数为曲线形增加；同理函 数y2=x与y轴的交点为(0,0),随后函数为直线型无限制增加。

        由于函数在起点处前者大，后者小，且增加的幅度前者比后者大，所以y1与y2没有交点，故方程没有实数解。

1、思路：函数的导数知识的应用。

2、       设函数为f(x)=e^x-x,对函数求导得到：

       f(x)’=e^x-1,另f(x)’=0,即：

e^x-1=0 则x=0.

      当x>0的时候，f(x)’>0,此时函数f(x)为增函数；

       当x<0的时候，f(x)’<0,此时函数f(x)为减函数。

所以当x=0，是函数f（x）的最小值点，则：

        f(x)min=f(0)=e^0-0=1,

        所以：e^x-x>=f(x)min=1,这与题目方程e^x-x=0矛盾，

因此方程e^x-x=0没有实数根。