【微分几何】圆柱面上的测地线

1、在圆柱面上面给定两个点A和B，其曲纹坐标如下：

A = {2, 3}; B = {5, 3};

这两个点的连线，在uv平面上与往王坐标轴平行。

2、圆柱面上，经过A和B的测地线的参数方程就是r[{u, 3}]（这是一条直线），这条测地线在uv平面上的参数方程是{u, 3}。

3、如果B的曲纹坐标改为：

B = {2,5};

那么经过A和B的测地线就是一个圆，其在uv平面上还是直线。

4、B = {1,5};

此时A和B在uv平面上的连线，与坐标畜驼轴不平行。

5、上面图中的直线的参数方程，可以写为：

k={u, (A - B)[[2]]/(A - B)[[1]] (u - (A[[1]])) + (A[[2]])}

因此可以画出圆柱面上，经过A和B的测地线：

r[k]

这是一条螺旋线。

6、如果A = {0, 0}; B = {5, 5};那么用上愁材忌述方法画出的螺旋线不是测地线。

7、此时，真正的测地线是下图的红色螺旋线，在uv平面上表现为另一条直线。

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特别需要注意，uv平面上的两个不同的点，在圆柱面上有相同的位置，但是它们的曲纹坐标是不相同的，这是周期性在起作用。