七道数学极限练习题及计算过程A13

1、解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)

=lim(n→∞)(13/n-12/n⁴)/(26+18/n³-8/n⁴),

=0。

1、2.计算lim(n→∞)(22n-35n-28)/(35+9n-31n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)

=lim(n→∞)(22-35/n-28/n²)/(35/n+9/n-31),

=(22-0)/(0-31),

=-22/31。

2、  思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)

=lim(n→∞)(44n-35)/(9-62n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(44-0)/(0-62)，

=-22/31。

1、3.求极限lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-30)/[(x-1)(x³+x²+x-39)],

=lim(x→1)(x²+x-30)/(x³+x²+x-39),

=(1+1-30)/(1+1+1-39),

=7/9。

1、解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)，

=lim(x→0)(23+28sin3x/x)/(4-47sin11x/x)，

=lim(x→0)(23+84sin3x/3x)/(4-517sin11x/11x)，

=(23+84)/(4-517)，

=-107/513。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)，

=lim(x→0)(23+28*3cos3x)/(4-47*11cos11x)，

=(23+28*3)/(4-47*11)，

=-107/513。

1、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(46x+49)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[46+(49/x)],

=1/{lim(x→∞)[46+(49/x)]},

=1/46。

1、解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x

=lim(x→0)2cos37xsin(-36x)/sin36x,

=lim(x→0) -2cos37x,

=-2cos0=-2。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x,

=lim(x→0)(cosx-sin73cos73x)/(36cos36x)，

=lim(x→0)(1-73)/36，

=-2。

1、解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+2x)^(11/21x),

=lim(x→0){[(1+2x)^(1/2x)]}^(11*2/21),

=e^(11*2/21),

=e^(22/21)。