【微分几何】怎么绘制螺旋太极图？
1、完美的球面螺旋线的参数方程是：
{Sin[v] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v], Cos[v]}
其中n是正数，v是参数变量。
绘制n为2时候的图像：
aa = Show[
ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u]}, {u, 0,
2 Pi}, {v, 0, Pi}, Axes -> False, Boxed -> False,
PlotStyle -> Opacity[1]],
ParametricPlot3D[{Sin[v] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v], Cos[v]} /.
n -> 2, {v, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Blue],
PlotRange -> All, ImageSize -> {500, 500}]
2、当n为10的时候，效果如下：
aa = Show[
ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u]}, {u, 0,
2 Pi}, {v, 0, Pi}, Axes -> False, Boxed -> False,
PlotStyle -> Opacity[1]],
ParametricPlot3D[{Sin[v] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v], Cos[v]} /.
n -> 10, {v, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Blue],
PlotRange -> All, ImageSize -> {500, 500}]
3、对球面螺旋线稍加修改，看效果：
aa = Show[
ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u]}, {u, 0,
2 Pi}, {v, 0, Pi}, Axes -> False, Boxed -> False,
PlotStyle -> Opacity[1]],
ParametricPlot3D[{Abs[Sin[v]] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v],
Cos[v]} /. n -> 10, {v, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Blue],
PlotRange -> All, ImageSize -> {500, 500}]
4、查看俯视图：
aa = Show[
……,
PlotRange -> All, ViewPoint -> Above, ImageSize -> {500, 500}]
5、把整个图像投影到xoy平面上，且调整绘图区域：
aa = Show[
ParametricPlot[{Cos[v], Sin[v]}, {v, 0, 2 Pi}, Axes -> False,
PlotStyle -> Black],
ParametricPlot[{Abs[Sin[v]] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v]} /.
n -> 10, {v, -Pi/2, Pi/2}, PlotStyle -> Blue],
PlotRange -> All, ViewPoint -> Above, ImageSize -> {500, 500}]
6、怎么对参数方程的区域着色呢？
方案如下：
通过旋转，把线条变成区域（二维形式）；
k = RotationTransform[u][{Abs@Sin[v] Sin[n v], -Cos[n v] Sin[v]}]
然后就是画图，着重注意着色方案（见加粗部分）：
aa = Show[
ParametricPlot[{Cos[u], Sin[u]}, {u, 0, 2 Pi}, Axes -> False,
PlotStyle -> Black],
ParametricPlot[Evaluate[k /. n -> 2], {u, 0, Pi}, {v, 0, Pi/2},
ColorFunction -> Function[{x, y, t, v}, Black],
BoundaryStyle -> None],
PlotRange -> All]
7、n从0递增到10，进行动态交互：
Manipulate[
Show[ParametricPlot[{Cos[u], Sin[u]}, {u, 0, 2 Pi}, Axes -> False,
PlotStyle -> Black],
ParametricPlot[Evaluate[k /. n -> m], {u, 0, Pi}, {v, 0, Pi/2},
ColorFunction -> Function[{x, y, t, v}, Black],
BoundaryStyle -> None, PlotPoints -> 100],
PlotRange -> All], {m, 0, 10}]
