数字信号处理中如何用幂级数法求z变换的逆变换

1、由z变换的定义式可知，如果见X(z)表示成幂级数的形式，将序列x（n）提取出来就完成了逆变换。

2、①可以用现有的幂级数将X（z）展开，就可以求得x（n）

例如：下图的X（z）：

3、利用ln（1+x）的幂级数展开，可以展开成下列形式：

4、根据收敛域，我们可以看出收敛域为一个圆的外部区域，所以原序列为右边序列，我们将其展开为负幂级数即可，(n>=1)，再将x（n）提取出来。

1、②对于有理函数，我们可以用长除法将X(z)展开成幂级数

注意：先根据收敛域确定是右边序列还是左边序列

          若是右边序列，长除法时将被除数与除数降幂排列，展开为负幂级数

          若是左边序列，长除法时将被除数与除数升幂排列，展开为正幂级数

2、(右边序列)例如下图的X（z）：

3、收敛域是一个圆的外部，对应序列为右边序列；

又判断z趋近于无穷的时候，X(z)趋近于1，是一个有限值，所以是因果序列；

长除法时应降幂排列：

4、这时z的幂级数前的序数为1,4,7... 结合第一项是常数项，n大于等于0，所以规律是3n+1（n>=0），将结果写出：

1、(左边序列)例如下图的X(z):

2、收敛域是一个圆的内部，对应序列为左边序列；

又判断z趋近于0的时候，X(z)趋近于0，是一个有限值，所以是逆因果序列；

长除法时应升幂排列：

3、这时z的幂级数前的序数为2,5,8... 结合第一项是z的1次幂，n小于等于-1，所以规律是 -3n-1（n<=-1），将结果写出：