【抽象代数】主理想整环

1、一个整环是主理想整环，如果它的所有理想都是主理想。

2、Z[x]不是级迅主理想整环。

反设由x和2生成的理想(x,2)是主理想，

那么存在元素d(x)，使得(x,2)=(d(x))，那么：

(x,2)=Z[x]。

但是注意，1不在(x,2)里面，导致矛盾。

3、主理想整环R的每个既约元是素元。

假设p是既约元，但是不是素元，那么(p)就是极大理想，所以R/(p)是一个域。

p不是素元，那么必定存在m和n，使得p|mn，但是p∤m且p∤n；

进而畜耍，(m+(p))(n+(p))=mn+(p)=(p)。

由于域里面没有零因子，所以有(m+(p))=(p)或(n+(p))=(p)，与p∤m且p∤n矛盾。

4、假设一个整环R有无限个理想 I1、I2、I3……，满足：

I1⊂I2⊂I3⊂……，

我们说，这个整环存在一个理想的无限升链。

令I=I1∪I2∪I3∪……，那么，I也必定是R的一个理想。

注意，I1∪I2=I2、I1∪I2∪I3=I3……

5、主理想整环R不存在理想的无限升链。

反设I1⊂I2⊂I3⊂……是R的无限升链，那么I=I1∪I2∪I3∪……就是R的一个理想，进而I是主理想，记I=(a)。

设a∈In，有(a)⊂In；

另外，In⊂I=(a)，所以，(a)=In，与无限升链的假设矛盾。

6、综合步骤3和步骤5，可以证明，主理想整环是唯一因子分解整环。

7、Gauss整数环是主理想整环。

假设N是Z[i]的一个理想，a是N中绝对值最小的非零元；

任取N的元素b，有b/a=u+vi∈Q[i]；

分别选择销伐糟最接近u、v的整数m、n，有|b/a-m-ni|<1；

显然，b-a*(m+ni)∈N；

但是，|b-a*(m+ni)|=|a|*|b/a-m-ni|<|a|，所以b-a*(m+ni)=0；

b=a*(m+ni)∈(a)，所以，N=(a)。

这样，我们间接证明了，Gauss整数环是唯一因子分解整环。