函数y=x/2+1/7x的值域

1、   通过二次方程判别式法、基本不等式法、配方法、导数法等，介绍求函数y=x/2+1/7x在x>0时值域的主要过程与步骤。

2、二次函数判别式法,将函数变形为x的二次函数，再利用二次方程判别式计算求解函数的值域。

3、主要思路：将函数变形为x的二次函数，再利用二次方程判别式计算求解函数的值域。

∵y=1x/2+1/7x

∴14xy=7x^2+2，即：

7x^2-14xy+2=0,化简变形得：

7x^2-14y*x+2=0,方程对x有解，则：

判别式△=(14y)^2-4*14≥0，解得：

y^2≥4*14/14^2,所以：

y≥2/14*√14=(1/7)*√14.

则值域为：[(1/7)*√14,+∞)。

4、对任意两个正数a,b，有基本不等式a+b≥2√ab。

对于本题，有：

y=1x/2+1/7x≥2√(1x/2*1/7x),

=2√(1/14)=(1/7)*√14.

则值域为：[(1/7)*√14,+∞)。

5、将所求函数变形为含有√x的二次方程，再根据其性质求解值域。

y=1x/2+1/7x

=[√(1x/2)]^2+[√(1/7x)]^2

=[√(1x/2)-√(1/7x)]^2+2√(1x/2)*√(1/7x)

则当√(1x/2)-√(1/7x)=0时，

6、ymin=2√(1x/2)*√(1/7x)

=2√(1/14)=(1/7)*√14。

则值域为：[(1/7)*√14,+∞)。

7、y=1x/2+1/7x，对x求一阶导数得：

y'=1/2-1/7x^2,令y'=0，则：

1/2=1/7x^2，即x^2=2/7,

x0=√(2/7)，代入函数y可求得最小值，即：

ymin=1x0/2+1/7x0=(1/7)*√14

则值域为：[(1/7)*√14,+∞)。