cos(α–β)怎么推导

1、【向量的减法】

首先，我们知道，对于两个向量 u 和 v ，其和 u + v 表示这两次向量的叠加。借用向量加法的规则，我们很容易理解向量的减法 u - v = u + (-v) 可以表示为三角形的第三边：

2、【向量长度的概念】

如此一来，我们就将 u、v 、和 u- v 构造成了三角形的三条边。显然根据余弦定理，我们可以列出一个关于 u、v 、和 u- v 长度和夹角的方程。不过在此之前，我们可以先引入两个数学记号来表示两种运算。

为了简单又清楚地表达向量长度的概念，我们引入一个新的记号||向量||：

1.  ||u|| 表示 向量u 的长度，

2.  ||v|| 表示 向量v的长度，

3.  ||u - v|| 表示 向量 (u-v)  的长度

显然，任意一个二维向量p，都可以表示成平面上的坐标(p₁,p₂)。而长度||p||等于从原点到p点(p₁,p₂)的长度。显然，根据勾股定理，有：

||p||²  = p₁² + p₂² 

          = p₁* p₁ + p₂ * p₂   

3、有了向量长度的记号，后续推导就清晰得多了。我们把u、v 之间的夹角记作θ， 则根据余弦定理，显然有：

||u - v||²  = ||u||² + ||v||² - 2 ||u|| * ||v|| * cosθ

简单移项：

 ||u|| * ||v|| * cosθ = 1/2[  ||u||² + ||v||² -  ||u - v||² ] 

                              = 1/2[ u₁² + u₂² + v₁² +v₂² - (u₁ - v₁)² - (u₂ - v₂)² ]

                              = u₁ v₁+ u₂v₂ 

4、这其实是一个一般公式，对任意u、v向量都适用。为了简化上面这个公式，我们不妨取两个单位向量来替代这里的一般性向量（所谓单位向量就是长度为1的向量），令：

u = (cosα, sinα)

v = (cosβ, sinβ)

显然，这里的 ||u||、||v||都是1。然后带入上面的公式：

cosθ= cosαcosβ + sinαsinβ

这里的θ表示二者的夹角，故θ = α- β：

cos(α-β) =  cosαcosβ + sinαsinβ

命题得证。