y=(x^3+3x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵x-1≠0，

∴x≠1，即函数的定义域为：

(-∞,1)∪(1,+∞）

2、通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-6=0.

当x^2-3x-6=0时，有：

x2=(3-√33)/2，x3=(3+√33)/2.

(1).当x∈((3-√33)/2,0), (1,(3+√33)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√33)/2],[0,1),((3+√33)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-6x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-6)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-6x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-6)(x-1)-3(x^3-3x^2-6x)]/(x-1)^4

=(18x+6)/(x-1)^4

=6(3x+1)/(x-1)^4  

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 3x+1=0，即x=-1/3.

(1).当x∈(-∞，-1/3)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-1/3,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、函数的极限

lim(x→-∞)(x^3+3x^2)/(x-1)^2=-∞

lim(x→1+)(x^3+3x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→1-)(x^3+3x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→+∞)(x^3+3x^2)/(x-1)^2=+∞

7、函数上部分点解析表，根据间断点分别列表如下显示。

8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：